第138章 分形的谢尔宾斯基地毯(2/2)

杨教授并不恼怒，笑而不言。据杨士模教授解释，这些东西都是属于分形几何的范畴。传统意义下，我们都知道点是零维的，线是一维的，平面是二维的，立方体是三维的，鬼神、梦境、阴间所在的空间是四维的。它们都有一个特点，空间的维数是整数，而分形空间的维数可以不是整数，而是分数。根据杨士模教授织地毯和打晒席的实验，我们知道sierpiki（谢尔宾斯基）地毯的面积为0,长度为无穷，未封闭的koch（科克）曲线也是面积为0，长度为无穷。一个没有面积却有无穷大长度的东西是一个怎样的存在，它的空间维度是多少？

我们也可以换种角度看维数：把线段放大两倍后，所得线段可以看成是2个原来线段叠加而成。把正方形放大两倍后，所得正方形可以看成是4＝2的2次方个原来的正方形叠加而成。把立方体放大两倍后，所得立方体可以看成是8＝2的3次方个原来的立方体叠加而成。所以，线段、正方形、立方体的空间维数分别是1维、2维、3维。

一般地，如果我们把集合e放大a倍，得到的新集合可以由a的d次方个集合叠加而成，则称集合e的分形维数是d。按此算法，不难得到立方体的维数是3维。或者可以这样计算，如果我们把集合e放大a倍，得到的新集合可以由b个集合叠加而成，则称集合e的分形维数是b的对数除以a的对数之商。把sierpiki（谢尔宾斯基）地毯放大3倍所得到的集合，可以看成是8个sierpiki（谢尔宾斯基）地毯叠加而成，所以它的维数是log8除以log3等于1.8928。把koch（科克）曲线放大3倍所得到的集合，可以看成是4个koc4除以log3等于1.2619。

这样一来，我们世界中很多东西都不再是整数的维数，如树木花草、山川河流、烟雾云彩、晶体的生长、分子的运动轨迹等等。为了研究这种具有自相似性的不规则曲线或形位，分形几何诞生了。1982年，（曼德尔布罗特）创建和发展了分形几何。分形物体具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。谢尔宾斯基地毯和科克曲线这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，这正是分形的神奇之处。